Wiki. “Bousfield 局部化” [Bousfield局部化]

固定一个谱 $E$. 关于 $E$ 的局部化聚焦于 $E$ “可见” 的同伦信息.

定义. ($E$-无圈谱, $E$-等价, $E$-局部谱)

• 称谱 $X$ 为 $E$-无圈谱 ($E$-acyclic spectrum) 是指 $E\wedge X = 0$.
• 称谱的态射 $f\colon X\to Y$ 为 $E$-等价 ($E$-equivalence) 是指如下等价条件之一成立:
  • $E\wedge f\colon E\wedge X \to E\wedge Y$ 为等价 (换言之, $f$ 诱导 $E$-同调的同构);
  • $f$ 的同伦纤维为 $E$-无圈谱.
• 称谱 $X$ 为 $E$-局部谱 ($E$-local spectrum) 是指如下等价条件之一成立:
  • 对任意 $E$-等价 $f\colon A\to B$, $[f,X]_\bullet\colon [B,X]_\bullet\to [A,X]_\bullet$ 为同构;
  • 对任意 $E$-无圈谱 $A$, $[A,X]_\bullet\simeq 0$.

命题. 存在自然的三角 $$ {_E}X \to X \overset{\eta}{\to} X_E \to \Sigma ({_E}X), $$ 使得 ${_E}X$ 为 $E$-无圈谱而 $X_E$ 为 $E$-局部谱.

$E$-局部化可视为 “将 $E$-等价变为等价” 的操作.

性质

命题. 设 $E$ 为环谱, $X$ 为 $E$-模, 则 $X$ 为 $E$-局部谱.

证明. 设 $A$ 为任意 $E$-无圈谱. 那么任意态射 $A\to X$ 可分解为 $$ A \overset{1}{\to}E\wedge A\overset{f}{\to}E\wedge X \to X, $$ 而 $A\wedge E=0$, 这说明 $[A,X]_\bullet\simeq 0$.

另一种说法是, 由于 $X$ 是 $E$-模, $X$ 是 $X\wedge E$ 的收缩, 而对任何谱 $X$, $X\wedge E$ 都是 $E$-局部谱. (好像 $E$-模是 $E$-局部谱这个结论更基本一些.)

命题. $E$-局部谱的子范畴关于平移, 收缩, 积 (直和), 同伦余纤维封闭.

注意, $E$-局部谱的张量积 (smash) 不一定是 $E$-局部谱.