Wiki. “Atiyah–Bott 不动点定理” [Atiyah–Bott不动点定理]

Atiyah–Bott 不动点定理是 Lefschetz 不动点定理在椭圆复形上的推广. 其 de Rham 复形的特例是 Lefschetz 不动点定理.

$f\colon M\to M$ 是光滑映射, 满足 $f$ 的图像与 $M\times M$ 中的对角线横截. 设 $E_j$ 为椭圆复形, $\varphi_j\colon f^*E_j\to E_j$ 诱导其自同态 $T$, $$ T_i =\Gamma(E_i) \overset{-\circ f}{\to}\Gamma(f^*E_i)\overset{\varphi_i}{\to}\Gamma(E_i). $$ 那么 Atiyah–Bott 不动点定理表明 $$ L(T) = \sum_{x\,\text{fixed}}\frac{1}{\det (1-Df)}\sum_j(-1)^j\operatorname{tr}_x(\varphi_j), $$ 其中 $$ L(T)=\sum_i (-1)^i\operatorname{tr}(T_i^*\colon H^i\to H^i) $$ 是推广的 Lefschetz 数.